Calcul infinitésimal Exemples

$2^{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- x^{- 2})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- \frac{1}{x^{2}})$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Associez $2^{\frac{1}{x}}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\ln (2) (- \frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}})$

Étape 3.2.2

Associez $\ln (2)$ et $\frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{x}} \ln (2)}{x^{2}}$