Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (n x)}{\sin (x)}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (n x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}}{\sin (x)}$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}}{\sin (x)}$ comme un produit.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (n x)}{\cos (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Convertissez de $\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}$ à $\tan (n x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (n x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 1.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (n x) \csc (x)$

Étape 2

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (n x) \csc (x)$

Étape 3

Évaluez la limite côté gauche.

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Étape 3.1

Réécrivez $\tan (n x) \csc (x)$ comme $\frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 3.2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} \tan (n x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 3.2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{-}} n x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Placez le terme $n$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\tan (n lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 3.2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\tan (n \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 3.2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.2.1.2.3.1

Multipliez $n$ par $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 3.2.1.2.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 3.2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 3.2.1.3.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

Étape 3.2.1.3.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 \sin (x)}$

Étape 3.2.1.3.1.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}$

Étape 3.2.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}$

Étape 3.2.1.3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 3.2.1.3.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 3.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = n x$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $n x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 3.2.3.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 3.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $n x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 3.2.3.3

Comme $n$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $n x$ par rapport à $x$ est $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 3.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 3.2.3.5

Multipliez $n$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) n}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 3.2.3.6

Réorganisez les facteurs de $\sec^{2} (n x) n$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 3.2.3.7

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}]}$

Étape 3.2.3.8

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [1 \sin (x)]}$

Étape 3.2.3.9

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.2.3.10

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.1

Réécrivez $\sec (n x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n {(\frac{1}{\cos (n x)})}^{2}}{\cos (x)}$

Étape 3.2.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \frac{1^{2}}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Étape 3.2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \frac{1}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Étape 3.2.5

Associez $n$ et $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{n}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Étape 3.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.2.7

Associez.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \cdot 1}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

Étape 3.2.8

Multipliez $n$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

Étape 3.2.9

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cdot 1 \cos (x)}$

Étape 3.2.10

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (n x)}$

Étape 3.2.11

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ à $\sec^{2} (n x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1 \cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Étape 3.2.12

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Étape 3.2.13

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Étape 3.2.14

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Étape 3.2.15

Divisez $n$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} n \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Placez le terme $n$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$n lim_{x \to 0^{-}} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Étape 3.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$n lim_{x \to 0^{-}} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sec^{2} (n x)$

Étape 3.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sec^{2} (n x)$

Étape 3.3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (n x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{-}} \sec (n x))}^{2}$

Étape 3.3.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0^{-}} n x)$

Étape 3.3.6

Placez le terme $n$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{-}} x)$

Étape 3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{-}} x)$

Étape 3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Étape 3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.5.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$n \cdot 1 \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Étape 3.5.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$n \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Étape 3.5.3

Multipliez $n$ par $0$ .

$n \cdot \sec^{2} (0)$

Étape 3.5.4

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$n \cdot 1^{2}$

Étape 3.5.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$n \cdot 1$

Étape 3.5.6

Multipliez $n$ par $1$ .

$n$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (n x) \csc (x)$

Étape 5

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 5.1

Réécrivez $\tan (n x) \csc (x)$ comme $\frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 5.2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \tan (n x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 5.2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.2.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{+}} n x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 5.2.1.2.1.2

Placez le terme $n$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\tan (n lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 5.2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\tan (n \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 5.2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.2.1.2.3.1

Multipliez $n$ par $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 5.2.1.2.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Étape 5.2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.2.1.3.1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 5.2.1.3.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

Étape 5.2.1.3.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 \sin (x)}$

Étape 5.2.1.3.1.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Étape 5.2.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Étape 5.2.1.3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 5.2.1.3.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 5.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 5.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = n x$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $n x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 5.2.3.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 5.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $n x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 5.2.3.3

Comme $n$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $n x$ par rapport à $x$ est $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 5.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $n$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) n}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 5.2.3.6

Réorganisez les facteurs de $\sec^{2} (n x) n$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Étape 5.2.3.7

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}]}$

Étape 5.2.3.8

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [1 \sin (x)]}$

Étape 5.2.3.9

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 5.2.3.10

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\cos (x)}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez $\sec (n x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n {(\frac{1}{\cos (n x)})}^{2}}{\cos (x)}$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \frac{1^{2}}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Étape 5.2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \frac{1}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Étape 5.2.5

Associez $n$ et $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{n}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Étape 5.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5.2.7

Associez.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \cdot 1}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

Étape 5.2.8

Multipliez $n$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

Étape 5.2.9

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cdot 1 \cos (x)}$

Étape 5.2.10

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (n x)}$

Étape 5.2.11

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ à $\sec^{2} (n x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1 \cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Étape 5.2.12

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Étape 5.2.13

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Étape 5.2.14

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Étape 5.2.15

Divisez $n$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} n \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Étape 5.3

Évaluez la limite.

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Étape 5.3.1

Placez le terme $n$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$n lim_{x \to 0^{+}} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Étape 5.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$n lim_{x \to 0^{+}} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sec^{2} (n x)$

Étape 5.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sec^{2} (n x)$

Étape 5.3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (n x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \sec (n x))}^{2}$

Étape 5.3.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0^{+}} n x)$

Étape 5.3.6

Placez le terme $n$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{+}} x)$

Étape 5.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{+}} x)$

Étape 5.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Étape 5.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.5.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$n \cdot 1 \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Étape 5.5.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$n \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Étape 5.5.3

Multipliez $n$ par $0$ .

$n \cdot \sec^{2} (0)$

Étape 5.5.4

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$n \cdot 1^{2}$

Étape 5.5.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$n \cdot 1$

Étape 5.5.6

Multipliez $n$ par $1$ .

$n$

Étape 6

Comme la limite côté gauche est égale à la limite côté droit, la limite est égale à $n$ .

$n$