Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{3} - 3 x y^{2} + y^{3} = 28$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3 x y^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (28)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 3 x y^{2} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$12 x^{2} - 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$12 x^{2} - 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$12 x^{2} - 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + 3 y^{2} y'$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{2} - 3 (2 x y y') - 3 y^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$12 x^{2} - 6 x y y' - 3 y^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$12 x^{2} - 3 y^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y'$

Étape 3

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$12 x^{2} - 3 y^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $12 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = - 12 x^{2}$

Étape 5.1.2

Ajoutez $3 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 6 x y y' + 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 5.2

Factorisez $3 y y'$ à partir de $- 6 x y y' + 3 y^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 y y'$ à partir de $- 6 x y y'$ .

$3 y y' (- 2 x) + 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 y y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y y' (- 2 x) + 3 y y' y = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 y y'$ à partir de $3 y y' (- 2 x) + 3 y y' y$ .

$3 y y' (- 2 x + y) = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 y y' (- 2 x + y) = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$ par $3 y (- 2 x + y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y y' (- 2 x + y) = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$ par $3 y (- 2 x + y)$ .

$\frac{3 y y' (- 2 x + y)}{3 y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y y' (- 2 x + y)}{3 y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $- 2 x + y$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y (- 2 x + y)$ .

$y' = \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (y (- 2 x + y))} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (y (- 2 x + y))} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y}{- 2 x + y}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $\frac{y}{- 2 x + y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y}{- 2 x + y} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (- 2 x + y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{y}{- 2 x + y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{(- 2 x + y) y}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(- 2 x + y) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.5.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{1} y}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.5.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{1} y^{1}}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{1 + 1}}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.5.5

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$y' = \frac{- {(2 x)}^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.5.6

Remettez dans l’ordre $- {(2 x)}^{2}$ et $y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} - {(2 x)}^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.5.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 2 x$ .

$y' = \frac{(y + 2 x) (y - (2 x))}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.5.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' = \frac{(y + 2 x) (y - 2 x)}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.6

Annulez le facteur commun à $y - 2 x$ et $- 2 x + y$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' = \frac{(y + 2 x) (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{(y + 2 x) (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y + 2 x}{y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 2 x}{y}$