Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 e^{\frac{1}{x^{2}}}}{3 x^{3}} d x$

Étape 1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} \int \frac{e^{\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Étape 2

Laissez $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Alors $d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ , donc $1 d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{2}{6} \int e^{u} d u$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} \int e^{u} d u$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Étape 6

Simplifiez

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{x^{2}}} + C$