Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 3} \frac{6}{9 - x^{2}} - \frac{1}{x + 3}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{6}{9 - x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(9 - x^{2}) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{6}{9 - x^{2}}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3)}{(9 - x^{2}) (x + 3)} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x + 3}$ par $\frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3)}{(9 - x^{2}) (x + 3)} - \frac{9 - x^{2}}{(x + 3) (9 - x^{2})}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) (9 - x^{2})$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3)}{(9 - x^{2}) (x + 3)} - \frac{9 - x^{2}}{(9 - x^{2}) (x + 3)}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3) - (9 - x^{2})}{(9 - x^{2}) (x + 3)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 3} 6 (x + 3) - (9 - x^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Étape 2.1.2

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite de $6 (x + 3) - (9 - x^{2})$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{6 (- 3 + 3) - (9 - {(- 3)}^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{6 \cdot 0 - (9 - {(- 3)}^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{0 - (9 - {(- 3)}^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Étape 2.1.2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.3.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{0 - (9 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Étape 2.1.2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0 - (9 - 9)}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Étape 2.1.2.2.4

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Étape 2.1.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Étape 2.1.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 9 - x^{2} \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 2.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 3} 9 - lim_{x \to - 3} x^{2}) \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 2.1.3.3

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{(9 - lim_{x \to - 3} x^{2}) \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 2.1.3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{(9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}) \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 2.1.3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{(9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}) \cdot (lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3)}$

Étape 2.1.3.6

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{(9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}) \cdot (lim_{x \to - 3} x + 3)}$

Étape 2.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{(9 - {(- 3)}^{2}) \cdot (lim_{x \to - 3} x + 3)}$

Étape 2.1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{(9 - {(- 3)}^{2}) \cdot (- 3 + 3)}$

Étape 2.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.8.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{(9 - 1 \cdot 9) \cdot (- 3 + 3)}$

Étape 2.1.3.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0}{(9 - 9) \cdot (- 3 + 3)}$

Étape 2.1.3.8.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot (- 3 + 3)}$

Étape 2.1.3.8.3

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.8.4

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.8.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3) - (9 - x^{2})}{(9 - x^{2}) (x + 3)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x + 3) - (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x + 3) - (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 (x + 3) - (9 - x^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 (x + 3)] + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x + 3)] + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 (x + 3)]$ .

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Étape 2.3.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 (x + 3)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.3.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (9 - x^{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.4.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 - (2 x))}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.4.7

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.4.8

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 + 2 x}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 9 - x^{2}$ et $g (x) = x + 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 2.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 2.3.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 2.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 2.3.11

Multipliez $9 - x^{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 2.3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}$

Étape 2.3.13

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}$

Étape 2.3.14

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 2.3.15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Étape 2.3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (- (2 x))}$

Étape 2.3.17

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (- 2 x)}$

Étape 2.3.18

Simplifiez

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Étape 2.3.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + x (- 2 x) + 3 (- 2 x)}$

Étape 2.3.18.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.18.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 (x^{1} x) + 3 (- 2 x)}$

Étape 2.3.18.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 (x^{1} x^{1}) + 3 (- 2 x)}$

Étape 2.3.18.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 x^{1 + 1} + 3 (- 2 x)}$

Étape 2.3.18.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 x^{2} + 3 (- 2 x)}$

Étape 2.3.18.2.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 x^{2} - 6 x}$

Étape 2.3.18.2.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - 3 x^{2} - 6 x}$

Étape 2.3.18.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 3} 2 x + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 3.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 3.1.2.1.3

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 3} x + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 3.1.2.3.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to - 3} 3 x^{2} - lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}$

Étape 3.1.3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{- 3 lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}$

Étape 3.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}$

Étape 3.1.3.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 3} x + 9}$

Étape 3.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 3 {(- 3)}^{2} - 6 lim_{x \to - 3} x + 9}$

Étape 3.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 3 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 9}$

Étape 3.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.7.1.1

Multipliez $- 3$ par ${(- 3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.7.1.1.1

Multipliez $- 3$ par ${(- 3)}^{2}$ .

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Étape 3.1.3.7.1.1.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 9}$

Étape 3.1.3.7.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{0}{{(- 3)}^{1 + 2} - 6 \cdot - 3 + 9}$

Étape 3.1.3.7.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{3} - 6 \cdot - 3 + 9}$

Étape 3.1.3.7.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$\frac{0}{- 27 - 6 \cdot - 3 + 9}$

Étape 3.1.3.7.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 3$ .

$\frac{0}{- 27 + 18 + 9}$

Étape 3.1.3.7.2

Additionnez $- 27$ et $18$ .

$\frac{0}{- 9 + 9}$

Étape 3.1.3.7.3

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{- 3 x^{2} - 6 x + 9} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Étape 3.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Étape 3.3.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Étape 3.3.5

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} - 6 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Étape 3.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.7.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Étape 3.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Étape 3.3.7.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Étape 3.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 3.3.8.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Étape 3.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]}$

Étape 3.3.8.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]}$

Étape 3.3.9

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 + 0}$

Étape 3.3.10

Additionnez $- 6 x - 6$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 6 x - 6$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (1)}{- 6 x - 6}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (1)}{2 (- 3 x) - 6}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 1}{2 (- 3 x) + 2 \cdot - 3}$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 x) + 2 (- 3)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (1)}{2 (- 3 x - 3)}$

Étape 3.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 1}{2 (- 3 x - 3)}$

Étape 3.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - 3} \frac{1}{- 3 x - 3}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} - 3 x - 3}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 3} - 3 x - 3}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - 3} 3 x - lim_{x \to - 3} 3}$

Étape 4.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 3 lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 3}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{1}{- 3 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 3}$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 3 \cdot - 3 - 1 \cdot 3}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{1}{9 - 1 \cdot 3}$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{9 - 3}$

Étape 6.3

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{6}$

Forme décimale :

$0.1\overline{6}$