Calcul infinitésimal Exemples

${(x + 2)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 4^{2}$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 16$

Étape 1.2

Divisez chaque terme par $16$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 4$

$k = - 2$

$h = - 2$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 2, - 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 16}$

Étape 5.3.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$\sqrt{32}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$\sqrt{16 (2)}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 \sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, - 2)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 6, - 2)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(2, - 2), (- 6, - 2)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2), (- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4^{2}}}{4}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 16}}{4}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$\frac{\sqrt{32}}{4}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{4}$

Étape 8.3.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 8.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

Étape 8.3.2.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{4^{2}}{4 \sqrt{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

Étape 9.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{2})}$

Étape 9.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

Étape 9.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 9.3.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Étape 9.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 9.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 9.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Étape 9.3.4.2.4

Divisez $2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Étape 11.2

Simplifiez $1 \cdot (x - (- 2)) - 2$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $x - (- 2)$ par $1$ .

$y = x - (- 2) - 2$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = x + 2 - 2$

Étape 11.2.2

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$y = x + 0$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$y = x$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Étape 12.2

Simplifiez $- 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = - 1 \cdot (x + 2) - 2$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 x - 1 \cdot 2 - 2$

Étape 12.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot 2 - 2$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - x - 2 - 2$

Étape 12.2.2

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$y = - x - 4$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = x, y = - x - 4$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(- 2, - 2)$

Sommets : $(2, - 2), (- 6, - 2)$

Foyers : $(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2), (- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Excentricité : $\sqrt{2}$

Paramètre focal : $2 \sqrt{2}$

Asymptotes : $y = x$ , $y = - x - 4$

Étape 15