Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)} d x$

Étape 4

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{5}} d u$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{u^{5}} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Retirez $u^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Étape 7.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Étape 7.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- \int u^{- 5} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 5}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

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Étape 9.1.1

Associez $u^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

Étape 9.1.2

Placez $u^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

Étape 9.2

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$- - \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Étape 9.3

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{1}{4 u^{4}}$ par $1$ .

$\frac{1}{4 u^{4}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4 \cos^{4} (x)} + C$

Étape 11

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Étape 11.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{4 (\cos^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Étape 11.2

Séparez les fractions.

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + C$

Étape 11.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ à $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{4} (x) + C$

Étape 11.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Étape 11.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{\sec^{4} (x)}{4} + C$

Étape 11.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$