Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{1}{2})}^{4 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [{(\frac{1}{2})}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2})}^{u} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

${(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2^{2} {(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{2}$ comme $2^{- 1}$ .

$2^{2} {(2^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2^{2} {(2^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Multipliez les exposants dans ${(2^{- 1})}^{4 x}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2} \cdot 2^{- (4 x)} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2^{2} \cdot 2^{- 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \cdot 1$

Étape 9

Multipliez $2^{2 - 4 x}$ par $1$ .

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2})$