Calcul infinitésimal Exemples

$- 5 y^{3} = 3 + x + x^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- 5 y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 + x + x^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$- 15 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 15 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + x + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + 1 + 3 x^{2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 + 3 x^{2}$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 15 y^{2} y' = 3 x^{2} + 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 15 y^{2} y' = 3 x^{2} + 1$ par $- 15 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 15 y^{2} y' = 3 x^{2} + 1$ par $- 15 y^{2}$ .

$\frac{- 15 y^{2} y'}{- 15 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 15$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 15 y^{2} y'}{- 15 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $- 15$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (x^{2})}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 15 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (x^{2})}{3 (- 5 y^{2})} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 (- 5 y^{2})} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{2}}{- 5 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x^{2}}{5 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x^{2}}{5 y^{2}} - \frac{1}{15 y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{5 y^{2}} - \frac{1}{15 y^{2}}$