Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1} d x$

Étape 4

Divisez $x^{2} + 2 x + 3$ par $x + 1$ .

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Étape 4.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

Étape 4.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$

Étape 4.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 4.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 4.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$

Étape 4.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$3$

Étape 4.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$3$

Étape 4.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$3$
					+	$x$	+	$1$

Étape 4.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$3$
					-	$x$	-	$1$

Étape 4.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$3$
					-	$x$	-	$1$
							+	$2$

Étape 4.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int x + 1 + \frac{2}{x + 1} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int d x + \int \frac{2}{x + 1} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int \frac{2}{x + 1} d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{2}{x + 1} d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 9

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 9.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 9.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 \ln (| u |) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 \ln (| x + 1 |) + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 \ln (| x + 1 |) + C$