Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x} - e^{- x}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int e^{x} - e^{- x} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{x} d x + \int - e^{- x} d x$

Étape 4

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{x} + C + \int - e^{- x} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} + C - \int e^{- x} d x$

Étape 6

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 6.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{x} + C - \int - e^{u} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} + C - - \int e^{u} d u$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{x} + C + 1 \int e^{u} d u$

Étape 8.2

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$e^{x} + C + \int e^{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{x} + C + e^{u} + C$

Étape 10

Simplifiez

$e^{x} + e^{u} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ .

$F (x) =$ $e^{x} + e^{- x} + C$