Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3^{\ln (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3^{\ln (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 3^{x}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$3^{\ln (x)} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$3^{\ln (x)} \ln (3) \frac{1}{x}$

Étape 3.3

Associez les fractions.

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Étape 3.3.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $3^{\ln (x)}$ .

$\frac{3^{\ln (x)}}{x} \ln (3)$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{3^{\ln (x)}}{x}$ et $\ln (3)$ .

$\frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$