Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Étape 1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Étape 1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Étape 1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Étape 1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Étape 1.2.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.3.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.3.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 \cdot 0}$

Étape 1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.8.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{0}{3 \ln (1) - 3 \cdot 0}$

Étape 1.3.8.1.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Étape 1.3.8.1.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Étape 1.3.8.1.4

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.3.8.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.8.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \ln (x + 1) - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \ln (x + 1)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 3.7.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 3.7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 3.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 3.7.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 3.7.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 3.7.7

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 3.7.8

Associez $3$ et $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot 1}$

Étape 3.8.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3}$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Associez des termes.

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Étape 3.9.1.1

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}$

Étape 3.9.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{- 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Étape 3.9.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Étape 3.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 - 3 (x + 1)$ .

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Étape 3.9.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Étape 3.9.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) + 3 (- (x + 1))}{x + 1}}$

Étape 3.9.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (1) + 3 (- (x + 1))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - (x + 1))}{x + 1}}$

Étape 3.9.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1 \cdot 1)}{x + 1}}$

Étape 3.9.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1)}{x + 1}}$

Étape 3.9.2.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (- x + 0)}{x + 1}}$

Étape 3.9.2.5

Additionnez $- x$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 \cdot - 1 x}{x + 1}}$

Étape 3.9.2.6

Associez les exposants.

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Étape 3.9.2.6.1

Factorisez le signe négatif.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- (3 x)}{x + 1}}$

Étape 3.9.2.6.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- 3 x}{x + 1}}$

Étape 3.9.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{- \frac{3 x}{x + 1}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Étape 5

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Étape 6

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la gauche, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$\infty$

Étape 7

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Étape 8

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la droite, les valeurs de la fonction diminuent sans borne.

$- \infty$

Étape 9

Comme les limites côté gauche et côté droit ne sont pas égales, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$