Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{x} - 3 x^{3}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[3]{x} - 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 3 (3 x^{2})$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 9 x^{2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 9 x^{2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 9 x^{2}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 9 x^{2} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$