Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{t^{2} - π \sqrt{t} + \sqrt{t} \csc (t)}{\sqrt{t}} d t$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{t^{2} - π t^{\frac{1}{2}} + \sqrt{t} \csc (t)}{\sqrt{t}} d t$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{t^{2} - π t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \csc (t)}{\sqrt{t}} d t$

Étape 1.2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{t^{2} - π t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \csc (t)}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{2} - π t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \csc (t)$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{2}$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}} - π t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \csc (t)}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 1.3.1.2

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- π t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}} (- π) + t^{\frac{1}{2}} \csc (t)}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 1.3.1.3

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{\frac{1}{2}} \csc (t)$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}} (- π) + t^{\frac{1}{2}} (\csc (t))}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 1.3.1.4

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}} (- π)$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{3}{2}} - π) + t^{\frac{1}{2}} (\csc (t))}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 1.3.1.5

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{3}{2}} - π) + t^{\frac{1}{2}} (\csc (t))$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{3}{2}} - π + \csc (t))}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{3}{2}} - π + \csc (t))}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 1.3.3

Divisez $t^{\frac{3}{2}} - π + \csc (t)$ par $1$ .

$\int t^{\frac{3}{2}} - π + \csc (t) d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int t^{\frac{3}{2}} d t + \int - π d t + \int \csc (t) d t$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C + \int - π d t + \int \csc (t) d t$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C - π t + C + \int \csc (t) d t$

Étape 5

L’intégrale de $\csc (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C - π t + C + \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} - π t + \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$