Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 2}{4 x^{2} + 7}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2

Divisez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^{2}}}{4 + \frac{7}{x^{2}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x^{2}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x^{2}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x^{2}}}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x^{2}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x^{2}}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

Étape 4.3

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0}{4 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0}{4 + 7 \cdot 0}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{5 + 0}{4 + 7 \cdot 0}$

Étape 6.1.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{5}{4 + 7 \cdot 0}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{5}{4 + 0}$

Étape 6.2.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{5}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{4}$

Forme décimale :

$1.25$