Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{- 10 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{- 10}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(1 - 4 x)}^{2} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(1 - 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de ${(1 - 4 x)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 1 - 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - lim_{x \to 0} 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 \cdot 0)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 + 0)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Réécrivez ${(1 - 4 x)}^{2}$ comme $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(1 - 4 x) (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Développez $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.1.2

Multipliez $- 4 x$ par $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.1.5

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 8 x + 16 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 8 x + 16 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 2.3.7.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.7.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.8.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 16 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8.3

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 32 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 32 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.10

Simplifiez

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Étape 2.3.10.1

Associez des termes.

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Étape 2.3.10.1.1

Soustrayez $8$ de $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 32 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.10.1.2

Additionnez $- 8 + 32 x$ et $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 32 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{32 x - 8}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{32 x - 8}{1}$

Étape 2.4

Divisez $32 x - 8$ par $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} 32 x - 8$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 10} (lim_{x \to 0} 32 x - lim_{x \to 0} 8)$

Étape 3.2

Placez le terme $32$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 10} (32 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 8)$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 10} (32 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 8)$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 10} (32 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{10} (32 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Multipliez $32$ par $0$ .

$- \frac{1}{10} (0 - 1 \cdot 8)$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- \frac{1}{10} (0 - 8)$

Étape 5.3

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- \frac{1}{10} \cdot - 8$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{10}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{10} \cdot - 8$

Étape 5.4.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 8$

Étape 5.4.3

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 4)$

Étape 5.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 4)$

Étape 5.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{5} \cdot - 4$

Étape 5.5

Associez $\frac{- 1}{5}$ et $- 4$ .

$\frac{- - 4}{5}$

Étape 5.6

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{4}{5}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4}{5}$

Forme décimale :

$0.8$