Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2}{3} x y^{2} + 2 x - \frac{1}{3} x y^{2} + \frac{2}{3} x^{2} y - 5 x$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{3} x y^{2} + 2 x - \frac{1}{3} x y^{2} + \frac{2}{3} x^{2} y - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x y^{2}]$ .

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.2

Associez $\frac{2 x}{3}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x y^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.3

Comme $\frac{2 y^{2}}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x y^{2}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2 y^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{2 y^{2}}{3}$ par $1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}]$ .

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Étape 4.1

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 4.2

Associez $y^{2}$ et $\frac{x}{3}$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2} x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 4.3

Comme $- \frac{y^{2}}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{y^{2} x}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{y^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y]$ .

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Étape 5.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 5.2

Associez $\frac{2 x^{2}}{3}$ et $y$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2} y}{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 5.3

Comme $\frac{2 y}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{2} y}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2 y}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{2 y}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{2 y}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 5.5

Associez $2$ et $\frac{2 y}{3}$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{2 (2 y)}{3} x + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 5.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y}{3} x + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 5.7

Associez $\frac{4 y}{3}$ et $x$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 6.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} - 5 \cdot 1$

Étape 6.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} - 5$

Étape 7

Associez des termes.

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 y^{2} - y^{2}}{3} + 2 + \frac{4 y x}{3} - 5$

Étape 7.2

Soustrayez $y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{3} + 2 + \frac{4 y x}{3} - 5$

Étape 7.3

Soustrayez $5$ de $2$ .

$\frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} - 3$