Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 2} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3} + 2$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3} + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 0^{3} + 2$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{3} + 2$ .

$u_{upper} = 1^{3} + 2$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 2$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int_{2}^{3} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{3}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $3$ et sur $2$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Placez $3^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3

Multipliez $3^{\frac{3}{2}}$ par $3^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.3.1

Déplacez $3^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.6.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.4

Associez $2^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Étape 6.2.5

Multipliez $2^{\frac{3}{2}}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $2^{\frac{3}{2}}$ par $2$ .

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Étape 6.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Étape 6.2.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Étape 6.2.5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Étape 6.2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Étape 6.2.5.4

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 7.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Étape 7.2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3}$

Étape 7.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Étape 7.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.1

Placez $3^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Étape 7.4.2

Multipliez $3$ par $3^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.2.1

Multipliez $3$ par $3^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{3^{1} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Étape 7.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{3^{1 - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Étape 7.4.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2}{3^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Étape 7.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3^{\frac{2 - 1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Étape 7.4.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Forme décimale :

$0.52616117 \dots$

Étape 9