Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 + \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 3 + \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $3 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

Étape 1.3.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 1.3.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

Étape 1.3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

Étape 1.3.5.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

Étape 3

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $4$ et sur $\frac{7}{2}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

Étape 5.2

$\frac{7}{2}$ est d’environ $3.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

Étape 5.4

Multipliez $4 (\frac{2}{7})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Associez $4$ et $\frac{2}{7}$ .

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

Étape 5.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\ln (\frac{8}{7})$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\frac{8}{7})$

Forme décimale :

$0.13353139 \dots$