Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\sqrt{x}}^{\frac{π}{6}} θ \tan (θ) d θ$

Étape 1

Permutez les bornes de l’intégration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{\frac{π}{6}}^{\sqrt{x}} θ \tan (θ) d θ]$

Étape 2

Prenez la dérivée de $- \int_{\frac{π}{6}}^{\sqrt{x}} θ \tan (θ) d θ$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $\sqrt{x}$ .

$- \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \tan (\sqrt{x})$

Étape 11

Associez $\tan (\sqrt{x})$ et $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\tan (\sqrt{x}) \sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$