Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sin^{2} (x) + 1$

Étape 1

Écrivez $2 \sin^{2} (x) + 1$ comme une fonction.

$f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (x) + 1 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 \sin^{2} (x) d x + \int d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \sin^{2} (x) d x + \int d x$

Étape 6

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (x)$ en $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x) + \int d x$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Étape 8.3

Multipliez $\int 1 - \cos (2 x) d x$ par $1$ .

$\int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - \int \cos (2 x) d x + \int d x$

Étape 12

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 12.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 12.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 12.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int d x$

Étape 13

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u + \int d x$

Étape 14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u) + \int d x$

Étape 15

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + \int d x$

Étape 16

Appliquez la règle de la constante.

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + x + C$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + 2 x + C$

Étape 17.2

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \sin (u) + 2 x + C$

Étape 18

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$

Étape 19

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$