Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

Étape 1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x - x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $\frac{1}{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 4.2

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + 0$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0 + 0$

Étape 5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Additionnez $2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ et $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0$

Étape 5.2.2

Additionnez $2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ et $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x + y - \frac{1}{x^{2}}$