Calcul infinitésimal Exemples

$x y + y^{2} = 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x y + y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x + y x' + 2 y$

Étape 2.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y x' + x + 2 y$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y x' + x + 2 y = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y x' + 2 y = - x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$y x' = - x - 2 y$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $y x' = - x - 2 y$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $y x' = - x - 2 y$ par $y$ .

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$x' = - \frac{x}{y} - 2$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} - 2$