Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 3}^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x + 6) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 3}^{2} \frac{1}{2} x^{2} + x + 6 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 3}^{2} \frac{1}{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ et $6 x]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $2$ et sur $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ sur $2$ et sur $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.3

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.4

Multipliez $- 27$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 27 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.5

Associez $27$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{27}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.6

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{9}{1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.6.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 9) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.7

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.8

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.10.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 27}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.10.2

Additionnez $8$ et $27$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{35}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.11

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{35}{3}$ .

$\frac{35}{2 \cdot 3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.12

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{35}{6} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.13

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.14

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{35}{6} + \frac{4}{2} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.15

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.15.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.15.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{35}{6} + \frac{2}{1} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.15.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{35}{6} + 2 + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.16

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{35}{6} + 2 + 12 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.17

Additionnez $2$ et $12$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.18

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.19

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} + 6 \cdot - 3)$

Étape 7.2.3.20

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} - 18)$

Étape 7.2.3.21

Pour écrire $- 18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 7.2.3.22

Associez $- 18$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2})$

Étape 7.2.3.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{9 - 18 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.3.24

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.24.1

Multipliez $- 18$ par $2$ .

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{9 - 36}{2}$

Étape 7.2.3.24.2

Soustrayez $36$ de $9$ .

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{- 27}{2}$

Étape 7.2.3.25

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{35}{6} + 14 - - \frac{27}{2}$

Étape 7.2.3.26

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{35}{6} + 14 + 1 (\frac{27}{2})$

Étape 7.2.3.27

Multipliez $\frac{27}{2}$ par $1$ .

$\frac{35}{6} + 14 + \frac{27}{2}$

Étape 7.2.3.28

Pour écrire $14$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

Étape 7.2.3.29

Associez $14$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{14 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

Étape 7.2.3.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{35}{6} + \frac{14 \cdot 2 + 27}{2}$

Étape 7.2.3.31

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.31.1

Multipliez $14$ par $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{28 + 27}{2}$

Étape 7.2.3.31.2

Additionnez $28$ et $27$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55}{2}$

Étape 7.2.3.32

Pour écrire $\frac{55}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.3.33

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.33.1

Multipliez $\frac{55}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.33.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55 \cdot 3}{6}$

Étape 7.2.3.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{35 + 55 \cdot 3}{6}$

Étape 7.2.3.35

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.35.1

Multipliez $55$ par $3$ .

$\frac{35 + 165}{6}$

Étape 7.2.3.35.2

Additionnez $35$ et $165$ .

$\frac{200}{6}$

Étape 7.2.3.36

Annulez le facteur commun à $200$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.36.1

Factorisez $2$ à partir de $200$ .

$\frac{2 (100)}{6}$

Étape 7.2.3.36.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.36.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.36.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.36.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{100}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{100}{3}$

Forme décimale :

$33.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$33 \frac{1}{3}$

Étape 9