Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 3}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} 2 x - 3}$

Étape 1.2

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré impair dont le coefficient directeur est positif à l’infini négatif.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} 2 x - 3}$

Étape 1.3

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré impair dont le coefficient directeur est positif à l’infini négatif.

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Étape 2

Comme $\frac{- \infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 3} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + 0}$

Étape 3.6

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2}$

Étape 4

Évaluez la limite de $\frac{1}{2}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{2}$