Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 2 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ est positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $4 \cos^{2} (t)$ comme ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \cos (t)$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 \sin (t))}^{2} d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 (\sin (t)))}^{2} d t$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (\sin (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2^{2} \sin^{2} (t) d t$

Étape 2.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 \sin^{2} (t) d t$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} (t) d t$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (t)$ en $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 6.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{6}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (2 t) d t)$

Étape 10

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 10.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 10.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Étape 10.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Étape 10.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 10.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 10.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 10.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 11

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u))$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Évaluez $t$ sur $\frac{π}{6}$ et sur $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Étape 14.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.2.1

Évaluez $\sin (u)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Étape 14.2.2

Additionnez $\frac{π}{6}$ et $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Étape 14.3

Simplifiez

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Étape 14.3.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)))$

Étape 14.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0))$

Étape 14.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0))$

Étape 14.3.4

Additionnez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 14.3.5

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Étape 14.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Étape 14.4

Simplifiez

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Étape 14.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Étape 14.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \frac{π}{2 (3)} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Étape 14.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Étape 14.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Étape 14.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Étape 14.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 (2)}$

Étape 14.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 14.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 14.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$0.18117214 \dots$