Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Étape 1.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Étape 1.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{1}{4} u^{4}$ sur $1 + \ln (3)$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et ${(1 + \ln (3))}^{4}$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Étape 3.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Forme décimale :

$4.59918613 \dots$