Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{4 - {(2 + x)}^{2}}$

Étape 1

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{4 - {(2 + x)}^{2}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 - {(2 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 - {(2 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.1.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(2 + x)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 2 \frac{0}{4 - {(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - {(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.1.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - {(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- 2 \frac{0}{4 - {(2 + 0)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.3.1.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - 2^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Étape 2.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 2 \frac{0}{4 - 4}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$- 2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- 2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- 2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- 2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4 - {(2 + x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

Étape 2.3.3

Réécrivez ${(2 + x)}^{2}$ comme $(2 + x) (2 + x)$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 + x) (2 + x)]}$

Étape 2.3.4

Développez $(2 + x) (2 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 (2 + x) + x (2 + x))]}$

Étape 2.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x))]}$

Étape 2.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x)]}$

Étape 2.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.5.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x)]}$

Étape 2.3.5.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x)]}$

Étape 2.3.5.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + 2 x + x^{2})]}$

Étape 2.3.5.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 4 x + x^{2})]}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - (4 + 4 x + x^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]}$

Étape 2.3.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]}$

Étape 2.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]$ .

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Étape 2.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (4 + 4 x + x^{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2}]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2}]}$

Étape 2.3.8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + 4 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Étape 2.3.8.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Étape 2.3.8.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Étape 2.3.8.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Étape 2.3.8.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \cdot 1 + 2 x)}$

Étape 2.3.8.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 + 2 x)}$

Étape 2.3.8.8

Additionnez $0$ et $4$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (4 + 2 x)}$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 x}$

Étape 2.3.9.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 4 - 1 \cdot 2 x}$

Étape 2.3.9.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 4 - 2 x}$

Étape 2.3.9.2.3

Soustrayez $- (- 4 - 2 x)$ de $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 4 - 2 x}$

Étape 2.3.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x - 4}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 2 \frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 4}$

Étape 3.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 2 \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 2 \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- 2 \frac{1}{- 2 \cdot 0 - 1 \cdot 4}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$- 2 \frac{1}{0 - 1 \cdot 4}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 2 \frac{1}{0 - 4}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 2 (\frac{1}{- 4})$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{- 4}$

Étape 5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot - 2}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot - 2}$

Étape 5.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{- 2}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{1}{2}$

Étape 5.4

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Étape 5.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$