Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

Étape 1

Écrivez $\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{6}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Étape 5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$6 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$6 \int x^{- 3} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Étape 8.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Étape 9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Étape 10

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 7 d x$

Étape 11

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 7 d x$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 7 d x$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 4$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 4}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Étape 13.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Étape 13.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Étape 13.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 2}{1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Étape 13.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Étape 14

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + \int 7 d x$

Étape 15

Appliquez la règle de la constante.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + 7 x + C$

Étape 16

Simplifiez

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{u} + 7 x + C$

Étape 17

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ .

$F (x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$