Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{3} - x - 3$

Étape 1

Écrivez $y = 3 x^{3} - x - 3$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 x^{2} - 1 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $9 x^{2} - 1$ et $0$ .

$9 x^{2} - 1$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ et résolvez pour $x$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} = 1$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $9 x^{2} = 1$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x^{2} = 1$ par $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Étape 3.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 3.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre, tel que $- 3$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{1}{3})$ dans la dérivée première $9 x^{2} - 1$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$f' (- 3) = 81 - 1$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ de $81$ .

$f' (- 3) = 80$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $80$ .

$80$

Étape 6

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ dans la dérivée première $9 x^{2} - 1$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Étape 6.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f' (0) = - 1$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 7

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(\frac{1}{3}, \infty)$ dans la dérivée première $9 x^{2} - 1$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$f' (3) = 81 - 1$

Étape 7.2.2

Soustrayez $1$ de $81$ .

$f' (3) = 80$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $80$ .

$80$

Étape 8

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - \frac{1}{3}$ , il y a un changement de sens sur $x = - \frac{1}{3}$ .

Étape 9

Déterminez la coordonnée y de $- \frac{1}{3}$ afin de déterminer le changement de sens.

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Étape 9.1

Déterminez $f (- \frac{1}{3})$ afin de déterminer la coordonnée y de $- \frac{1}{3}$ .

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Étape 9.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2

Simplifiez $3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ .

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Étape 9.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 9.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.2.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{27}$ dans le numérateur.

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2.2.5.2

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2.2.7

Multipliez $- (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 9.1.2.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

Étape 9.1.2.2.7.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

Étape 9.1.2.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 9.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Étape 9.1.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Étape 9.1.2.3.3

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Étape 9.1.2.3.4

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 9.1.2.3.5

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Étape 9.1.2.3.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Étape 9.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Étape 9.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

Étape 9.1.2.5.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{2 - 27}{9}$

Étape 9.1.2.5.3

Soustrayez $27$ de $2$ .

$\frac{- 25}{9}$

Étape 9.1.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{25}{9}$

Étape 9.2

Écrivez les coordonnées $x$ et $y$ dans la forme de point.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

Étape 10

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{1}{3}$ , il y a un changement de sens sur $x = \frac{1}{3}$ .

Étape 11

Déterminez la coordonnée y de $\frac{1}{3}$ afin de déterminer le changement de sens.

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Étape 11.1

Déterminez $f (\frac{1}{3})$ afin de déterminer la coordonnée y de $\frac{1}{3}$ .

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Étape 11.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Étape 11.1.2

Simplifiez $3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ .

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Étape 11.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Étape 11.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Étape 11.1.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Étape 11.1.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

Étape 11.1.2.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.1.2.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

Étape 11.1.2.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

Étape 11.1.2.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

Étape 11.1.2.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

Étape 11.1.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Étape 11.1.2.3.3

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Étape 11.1.2.3.4

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 11.1.2.3.5

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Étape 11.1.2.3.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Étape 11.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Étape 11.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

Étape 11.1.2.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- 2 - 27}{9}$

Étape 11.1.2.5.3

Soustrayez $27$ de $- 2$ .

$\frac{- 29}{9}$

Étape 11.1.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{29}{9}$

Étape 11.2

Écrivez les coordonnées $x$ et $y$ dans la forme de point.

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Étape 12

Ce sont les changements de sens.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Étape 13