Calcul infinitésimal Exemples

$- x^{3} y + x^{2} = 4 y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- x^{3} y + x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} y + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3} y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

$- (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (x^{3} y' + y (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x^{3} y') - (3 y x^{2}) + 2 x$

Étape 2.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- x^{3} y' - 3 y x^{2} + 2 x$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y + 2 x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 (y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y + 2 x = 8 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $8 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y + 2 x - 8 y y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $3 x^{2} y$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{3} y' + 2 x - 8 y y' = 3 x^{2} y$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{3} y' - 8 y y' = 3 x^{2} y - 2 x$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- x^{3} y' - 8 y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- x^{3} y'$ .

$y' (- x^{3}) - 8 y y' = 3 x^{2} y - 2 x$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 8 y y'$ .

$y' (- x^{3}) + y' (- 8 y) = 3 x^{2} y - 2 x$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- x^{3}) + y' (- 8 y)$ .

$y' (- x^{3} - 8 y) = 3 x^{2} y - 2 x$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (- x^{3} - 8 y) = 3 x^{2} y - 2 x$ par $- x^{3} - 8 y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x^{3} - 8 y) = 3 x^{2} y - 2 x$ par $- x^{3} - 8 y$ .

$\frac{y' (- x^{3} - 8 y)}{- x^{3} - 8 y} = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} - 8 y} + \frac{- 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- x^{3} - 8 y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x^{3} - 8 y)}{- x^{3} - 8 y} = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} - 8 y} + \frac{- 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} - 8 y} + \frac{- 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{3 x^{2} y - 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} y - 2 x$ .

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Étape 5.4.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} y$ .

$y' = \frac{x (3 x y) - 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Étape 5.4.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{x (3 x y) + x \cdot - 2}{- x^{3} - 8 y}$

Étape 5.4.3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x y) + x \cdot - 2$ .

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- x^{3} - 8 y}$

Étape 5.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- (x^{3}) - 8 y}$

Étape 5.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 y$ .

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- (x^{3}) - (8 y)}$

Étape 5.4.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (8 y)$ .

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- (x^{3} + 8 y)}$

Étape 5.4.3.6

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.4.3.6.1

Réécrivez $- (x^{3} + 8 y)$ comme $- 1 (x^{3} + 8 y)$ .

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- 1 (x^{3} + 8 y)}$

Étape 5.4.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x (3 x y - 2)}{x^{3} + 8 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x y - 2)}{x^{3} + 8 y}$