Calcul infinitésimal Exemples

$2 \cos^{2} (x^{2} + 2)$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos^{2} (x^{2} + 2)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x^{2} + 2)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x^{2} + 2)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x^{2} + 2)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x^{2} + 2)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x^{2} + 2)$ .

$2 (2 \cos (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Étape 3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (\cos (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} + 2$ .

$4 \cos (x^{2} + 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 4.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$4 \cos (x^{2} + 2) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 2$ .

$4 \cos (x^{2} + 2) (- \sin (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) (\sin (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 5.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x + 0)$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x)$

Étape 5.5.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) x$

Étape 5.5.3

Réorganisez les facteurs de $- 8 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) x$ .

$- 8 x \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2)$