Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = a x^{2} + 7 x - 3$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = - \frac{7}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{7}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{7}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{7}{2}) = a {(- \frac{7}{2})}^{2} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Étape 3.2.1.4

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Étape 3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{4}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Étape 3.2.1.6

Associez $a$ et $\frac{49}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{a \cdot 49}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Étape 3.2.1.7

Déplacez $49$ à gauche de $a$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 \cdot a}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Étape 3.2.1.8

Multipliez $7 (- \frac{7}{2})$ .

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Étape 3.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - 7 (\frac{7}{2}) - 3$

Étape 3.2.1.8.2

Associez $- 7$ et $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} - 3$

Étape 3.2.1.8.3

Multipliez $- 7$ par $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49}{2} - 3$

Étape 3.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3$

Étape 3.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 3 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 6}{2}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $6$ de $- 49$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 55}{2}$

Étape 3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

Étape 3.2.7

La réponse finale est $\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$ .

$\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{7}{2}, \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2})$

Étape 5