Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{x + 2} - \frac{x - 6}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{2}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{x + 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4} - \frac{x - 6}{x^{2} - 4}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{x - 6}{x^{2} - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{x + 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4} - \frac{x - 6}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2) (x^{2} - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{2}{x + 2}$ par $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (x^{2} - 4)}{(x + 2) (x^{2} - 4)} - \frac{x - 6}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{x - 6}{x^{2} - 4}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (x^{2} - 4)}{(x + 2) (x^{2} - 4)} - \frac{(x - 6) (x + 2)}{(x^{2} - 4) (x + 2)}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} - 4) (x + 2)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (x^{2} - 4)}{(x + 2) (x^{2} - 4)} - \frac{(x - 6) (x + 2)}{(x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (x^{2} - 4) - (x - 6) (x + 2)}{(x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 (x^{2} - 4) - (x - 6) (x + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 (x^{2} - 4) - lim_{x \to - 2} (x - 6) (x + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x^{2} - 4 - lim_{x \to - 2} (x - 6) (x + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{2 (lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 4) - lim_{x \to - 2} (x - 6) (x + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 ({(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 4) - lim_{x \to - 2} (x - 6) (x + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{2 ({(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - lim_{x \to - 2} (x - 6) (x + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.6

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{2 ({(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - lim_{x \to - 2} x - 6 \cdot lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{2 ({(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 6) \cdot lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.8

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{2 ({(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6) \cdot lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{2 ({(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.10

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{2 ({(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to - 2} x + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.11

Évaluez les limites en insérant $- 2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{2 ({(- 2)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to - 2} x + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{2 ({(- 2)}^{2} - 1 \cdot 4) - (- 2 - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to - 2} x + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{2 ({(- 2)}^{2} - 1 \cdot 4) - (- 2 - 1 \cdot 6) \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.12

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.12.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.12.1.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (4 - 1 \cdot 4) - (- 2 - 1 \cdot 6) \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.12.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{2 (4 - 4) - (- 2 - 1 \cdot 6) \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.12.1.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 0 - (- 2 - 1 \cdot 6) \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.12.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 - (- 2 - 1 \cdot 6) \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.12.1.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{0 - (- 2 - 6) \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.12.1.5

Soustrayez $6$ de $- 2$ .

$\frac{0 - - 8 \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.12.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$\frac{0 + 8 \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.12.1.7

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0 + 8 \cdot 0}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.12.1.8

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.12.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} (x + 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + 2 \cdot lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Étape 2.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2) \cdot lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Étape 2.1.3.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x + 2) \cdot lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Étape 2.1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x + 2) \cdot (lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 4)}$

Étape 2.1.3.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x + 2) \cdot ({(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 4)}$

Étape 2.1.3.6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x + 2) \cdot ({(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Étape 2.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $- 2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{0}{(- 2 + 2) \cdot ({(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Étape 2.1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{0}{(- 2 + 2) \cdot ({(- 2)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Étape 2.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.8.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot ({(- 2)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Étape 2.1.3.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.8.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Étape 2.1.3.8.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

Étape 2.1.3.8.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.8.4

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.8.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (x^{2} - 4) - (x - 6) (x + 2)}{(x + 2) (x^{2} - 4)} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4) - (x - 6) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4) - (x - 6) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 (x^{2} - 4) - (x - 6) (x + 2)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4)] + \frac{d}{d x} [- (x - 6) (x + 2)]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4)] + \frac{d}{d x} [- (x - 6) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4)]$ .

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Étape 2.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 (x^{2} - 4)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + \frac{d}{d x} [- (x - 6) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- (x - 6) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- (x - 6) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x - 6) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.3.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- (x - 6) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- (x - 6) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (x - 6) (x + 2)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x - 6) (x + 2)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 2)]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 6$ et $g (x) = x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - ((x - 6) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 6])}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - ((x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 6])}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - ((x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 6])}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - ((x - 6) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 6])}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - ((x - 6) (1 + 0) + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - ((x - 6) (1 + 0) + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.8

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - ((x - 6) (1 + 0) + (x + 2) (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - ((x - 6) \cdot 1 + (x + 2) (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.10

Multipliez $x - 6$ par $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - (x - 6 + (x + 2) (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - (x - 6 + (x + 2) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.12

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - (x - 6 + x + 2)}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.13

Additionnez $x$ et $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - (2 x - 6 + 2)}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.14

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - (2 x - 4)}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - (2 x) - - 4}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - 2 x - - 4}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 x - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.5.2.3

Soustrayez $2 x$ de $4 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}$

Étape 2.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}$

Étape 2.3.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{(x + 2) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}$

Étape 2.3.10

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{(x + 2) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}$

Étape 2.3.11

Déplacez $2$ à gauche de $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{2 \cdot (x + 2) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}$

Étape 2.3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{2 (x + 2) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}$

Étape 2.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{2 (x + 2) x + (x^{2} - 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}$

Étape 2.3.14

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{2 (x + 2) x + (x^{2} - 4) (1 + 0)}$

Étape 2.3.15

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{2 (x + 2) x + (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Étape 2.3.16

Multipliez $x^{2} - 4$ par $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{2 (x + 2) x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17

Simplifiez

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Étape 2.3.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{(2 x + 2 \cdot 2) x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.3

Associez des termes.

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Étape 2.3.17.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot 2 x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 2 x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 2 x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{2 x^{2} + 2 \cdot 2 x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{2 x^{2} + 4 x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.3.6

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 4 x - 4}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 x + 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 4 x - 4}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 4 x - 4}$

Étape 3.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 4 x - 4}$

Étape 3.1.2.1.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x + 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 4 x - 4}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot - 2 + 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 4 x - 4}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 4 x - 4}$

Étape 3.1.2.3.2

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 4 x - 4}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x - lim_{x \to - 2} 4}$

Étape 3.1.3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x - lim_{x \to - 2} 4}$

Étape 3.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x - lim_{x \to - 2} 4}$

Étape 3.1.3.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 4}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $- 2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 {(- 2)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 {(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 + 4 \cdot - 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.7.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{0}{12 + 4 \cdot - 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.7.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 1 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 4}$

Étape 3.1.3.7.2

Soustrayez $8$ de $12$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Étape 3.1.3.7.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 4 x - 4} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4 x - 4]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4 x - 4]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4 x - 4]}$

Étape 3.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4 x - 4]}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4 x - 4]}$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4 x - 4]}$

Étape 3.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4 x - 4]}$

Étape 3.3.5

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4 x - 4]}$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 4 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.7.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.3.8.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.8.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 4 + 0}$

Étape 3.3.10

Additionnez $6 x + 4$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 4}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $6 x + 4$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (1)}{6 x + 4}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (1)}{2 (3 x) + 4}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (2)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (1)}{2 (3 x + 2)}$

Étape 3.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x + 2)}$

Étape 3.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 x + 2}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} 3 x + 2}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} 3 x + 2}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}$

Étape 4.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to - 2} x + 2}$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{1}{3 \cdot - 2 + 2}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 6 + 2}$

Étape 6.1.2

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$\frac{1}{- 4}$

Étape 6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$- 0.25$