Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{6} [5 y - (y^{2} - 6)] d y$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{6} 5 y - (y^{2} - 6) d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{6} 5 y d y + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{- 1}^{6} y d y + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Étape 6

Multipliez $- (y^{2} - 6)$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - y^{2} - - 6 d y$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - y^{2} + 6 d y$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - \int_{- 1}^{6} y^{2} d y + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Étape 11

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{6}) + 6 y]_{- 1}^{6}$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $6$ et sur $- 1$ .

$5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{6}) + 6 y]_{- 1}^{6}$

Étape 13.2

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $6$ et sur $- 1$ .

$5 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 6 y]_{- 1}^{6}$

Étape 13.3

Évaluez $6 y$ sur $6$ et sur $- 1$ .

$5 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4

Simplifiez

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Étape 13.4.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$5 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun à $36$ et $2$ .

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Étape 13.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$5 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$5 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.2.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$5 (18 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$5 (18 - \frac{1}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.4

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.5

Associez $18$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{18 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.7.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$5 \frac{36 - 1}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.7.2

Soustrayez $1$ de $36$ .

$5 (\frac{35}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.8

Associez $5$ et $\frac{35}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 35}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.9

Multipliez $5$ par $35$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.10

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.11

Annulez le facteur commun à $216$ et $3$ .

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Étape 13.4.11.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{175}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{175}{2} - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.11.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$\frac{175}{2} - (72 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{175}{2} - (72 - \frac{- 1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{175}{2} - (72 - - \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{175}{2} - (72 + 1 (\frac{1}{3})) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.15

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{175}{2} - (72 + \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.16

Pour écrire $72$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.17

Associez $72$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{175}{2} - \frac{72 \cdot 3 + 1}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.19.1

Multipliez $72$ par $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{216 + 1}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.19.2

Additionnez $216$ et $1$ .

$\frac{175}{2} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.20

Pour écrire $\frac{175}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.21

Pour écrire $- \frac{217}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.22

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.4.22.1

Multipliez $\frac{175}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.22.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.22.3

Multipliez $\frac{217}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.22.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{175 \cdot 3 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.24.1

Multipliez $175$ par $3$ .

$\frac{525 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.24.2

Multipliez $- 217$ par $2$ .

$\frac{525 - 434}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.24.3

Soustrayez $434$ de $525$ .

$\frac{91}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.25

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{91}{6} + 36 - 6 \cdot - 1$

Étape 13.4.26

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{91}{6} + 36 + 6$

Étape 13.4.27

Additionnez $36$ et $6$ .

$\frac{91}{6} + 42$

Étape 13.4.28

Pour écrire $42$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + 42 \cdot \frac{6}{6}$

Étape 13.4.29

Associez $42$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + \frac{42 \cdot 6}{6}$

Étape 13.4.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{91 + 42 \cdot 6}{6}$

Étape 13.4.31

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.31.1

Multipliez $42$ par $6$ .

$\frac{91 + 252}{6}$

Étape 13.4.31.2

Additionnez $91$ et $252$ .

$\frac{343}{6}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{343}{6}$

Forme décimale :

$57.1\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$57 \frac{1}{6}$

Étape 15