Calcul infinitésimal Exemples

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Étape 1

Réécrivez le côté droit avec des exposants rationnels.

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Étape 1.1

Supprimez les parenthèses.

$V = \frac{1}{3} \cdot ((π r^{2}) h)$

Étape 1.2

Supprimez les parenthèses.

$V = \frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h)$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h))$

Étape 3

La dérivée de $V$ par rapport à $r$ est $V'$ .

$V'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Associez les fractions.

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Étape 4.1.1

Associez $π$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π}{3} \cdot (r^{2} h)]$

Étape 4.1.2

Associez $r^{2}$ et $\frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r^{2} π}{3} \cdot h]$

Étape 4.1.3

Associez $\frac{r^{2} π}{3}$ et $h$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r^{2} π h}{3}]$

Étape 4.2

Comme $\frac{π h}{3}$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $\frac{r^{2} π h}{3}$ par rapport à $r$ est $\frac{π h}{3} \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{π h}{3} \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{π h}{3} (2 r)$

Étape 4.4

Associez les fractions.

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Étape 4.4.1

Associez $2$ et $\frac{π h}{3}$ .

$\frac{2 (π h)}{3} r$

Étape 4.4.2

Associez $\frac{2 (π h)}{3}$ et $r$ .

$\frac{2 π h r}{3}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$V' = \frac{2 π h r}{3}$

Étape 6

Remplacez $V'$ par $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = \frac{2 π h r}{3}$