Calcul infinitésimal Exemples

$\int [3 \sec^{2} (t) + \frac{1}{\sqrt{t}}] d t$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int 3 \sec^{2} (t) + \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 \sec^{2} (t) d t + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \sec^{2} (t) d t + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Étape 4

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 5.2

Retirez $t^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\tan (t) + C) + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7

Simplifiez

$3 \tan (t) + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$