Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 6}{4 x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x - 6}{4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 6$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $- 6$ de $0$ .

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{6}{4 x^{2}}$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

Étape 3.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

Étape 3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

Étape 3.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2 x^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{3}{2 x^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2 x^{2}}$