Calcul infinitésimal Exemples

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(\tan (x) + \cot (x))}^{2} d x$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ comme $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ .

$\int (\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Étape 4.2

Développez $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Étape 4.3.1.1.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Étape 4.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Étape 4.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1

Remettez dans l’ordre $\tan (x)$ et $\cot (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Étape 4.3.1.2.2

Réécrivez $\tan (x) \cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \tan^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Étape 4.3.1.2.3

Annulez les facteurs communs.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Étape 4.3.1.3

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.3.1

Réécrivez $\cot (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \cot (x) d x$

Étape 4.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot (x) \cot (x) d x$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $\cot (x) \cot (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.4.1

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot (x) d x$

Étape 4.3.1.4.2

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) d x$

Étape 4.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + {\cot (x)}^{1 + 1} d x$

Étape 4.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{2} (x) d x$

Étape 4.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 2 + \cot^{2} (x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \tan^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Étape 9

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int \cot^{2} (x) d x$

Étape 11

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cot^{2} (x)$ comme $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Étape 14

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C - \cot (x) + C$

Étape 15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$C + \tan (x) + C + x + C - x + C - \cot (x) + C$

Étape 15.1.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$C + \tan (x) + C + C + 0 + C - \cot (x) + C$

Étape 15.1.3

Additionnez $C + \tan (x) + C + C$ et $0$ .

$C + \tan (x) + C + C + C - \cot (x) + C$

Étape 15.2

Simplifiez

$\tan (x) - \cot (x) + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) - \cot (x) + C$