Calcul infinitésimal Exemples

${(e^{- x})}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(e^{- x})}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(e^{- x})}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(e^{- x})}^{2} d x$

Étape 4

Multipliez les exposants dans ${(e^{- x})}^{2}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- x \cdot 2} d x$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int e^{- 2 x} d x$

Étape 5

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Étape 10

Simplifiez

$- \frac{1}{2} e^{u} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(e^{- x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$