Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

Étape 1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x + 2 x^{2} + 3 x^{3}$ .

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Étape 1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x^{1} + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\int \frac{x \cdot 1 + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\int \frac{x \cdot 1 + x (2 x) + 3 x^{3}}{x} d x$

Étape 1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot 1 + x (2 x) + x (3 x^{2})}{x} d x$

Étape 1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (2 x)$ .

$\int \frac{x \cdot (1 + 2 x) + x (3 x^{2})}{x} d x$

Étape 1.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot (1 + 2 x) + x (3 x^{2})$ .

$\int \frac{x (1 + 2 x + 3 x^{2})}{x} d x$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{x (1 + 2 x + 3 x^{2})}{x} d x$

Étape 1.2.2

Divisez $1 + 2 x + 3 x^{2}$ par $1$ .

$\int 1 + 2 x + 3 x^{2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int 2 x d x + \int 3 x^{2} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int 2 x d x + \int 3 x^{2} d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + 2 \int x d x + \int 3 x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 x^{2} d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 \int x^{2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Simplifiez

$x + x^{2} + 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

Étape 8.2.2

Associez $3$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + C$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + C$

Étape 8.2.3.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + C$