Calcul infinitésimal Exemples

$e^{e^{x^{2}}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = e^{x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{x^{2}}$ .

$e^{e^{x^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$e^{e^{x^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{e^{x^{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$e^{e^{x^{2}}} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Multipliez $e^{e^{x^{2}}}$ par $e^{x^{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Déplacez $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} e^{e^{x^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x^{2} + e^{x^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2} + e^{x^{2}}} (2 x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2} + e^{x^{2}}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} + e^{x^{2}}} x$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2} + e^{x^{2}}} x$ .

$2 x e^{x^{2} + e^{x^{2}}}$