Calcul infinitésimal Exemples

$(h^{3} - 5) (3 h^{2} - 5 h - 4)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ est $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ où $f (h) = h^{3} - 5$ et $g (h) = 3 h^{2} - 5 h - 4$ .

$(h^{3} - 5) \frac{d}{d h} [3 h^{2} - 5 h - 4] + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 h^{2} - 5 h - 4$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [3 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 h] + \frac{d}{d h} [- 4]$ .

$(h^{3} - 5) (\frac{d}{d h} [3 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 h] + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $3 h^{2}$ par rapport à $h$ est $3 \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$(h^{3} - 5) (3 \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 h] + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(h^{3} - 5) (3 (2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 h] + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$(h^{3} - 5) (6 h + \frac{d}{d h} [- 5 h] + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Étape 2.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 5 h$ par rapport à $h$ est $- 5 \frac{d}{d h} [h]$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Étape 2.7

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5 + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Étape 2.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $h$ est $0$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5 + 0) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Étape 2.9

Additionnez $6 h - 5$ et $0$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $h^{3} - 5$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [h^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5]$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + (3 h^{2} - 5 h - 4) (\frac{d}{d h} [h^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5])$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + (3 h^{2} - 5 h - 4) (3 h^{2} + \frac{d}{d h} [- 5])$

Étape 2.12

Comme $- 5$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $h$ est $0$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + (3 h^{2} - 5 h - 4) (3 h^{2} + 0)$

Étape 2.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.13.1

Additionnez $3 h^{2}$ et $0$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + (3 h^{2} - 5 h - 4) (3 h^{2})$

Étape 2.13.2

Déplacez $3$ à gauche de $3 h^{2} - 5 h - 4$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + 3 \cdot (3 h^{2} - 5 h - 4) h^{2}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + (3 (3 h^{2}) + 3 (- 5 h) + 3 \cdot - 4) h^{2}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(h^{3} - 5) (6 h) + (h^{3} - 5) \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$h^{3} (6 h) - 5 (6 h) + (h^{3} - 5) \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.5

Appliquez la propriété distributive.

$h^{3} (6 h) - 5 (6 h) + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6

Associez des termes.

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Étape 3.6.1

Multipliez $h^{3}$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1.1

Déplacez $h$ .

$h \cdot h^{3} \cdot 6 - 5 (6 h) + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $h$ par $h^{3}$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$h^{1} h^{3} \cdot 6 - 5 (6 h) + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$h^{1 + 3} \cdot 6 - 5 (6 h) + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$h^{4} \cdot 6 - 5 (6 h) + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.2

Déplacez $6$ à gauche de $h^{4}$ .

$6 \cdot h^{4} - 5 (6 h) + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.3

Multipliez $6$ par $- 5$ .

$6 h^{4} - 30 h + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.4

Déplacez $- 5$ à gauche de $h^{3}$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 \cdot h^{3} - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.5

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{2} h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.7

Multipliez $h^{2}$ par $h^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.7.1

Déplacez $h^{2}$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 (h^{2} h^{2}) + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{2 + 2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.7.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.8

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} - 15 h \cdot h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.9

Multipliez $h$ par $h^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.9.1

Déplacez $h^{2}$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} - 15 (h^{2} h) + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.9.2

Multipliez $h^{2}$ par $h$ .

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Étape 3.6.9.2.1

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} - 15 (h^{2} h^{1}) + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} - 15 h^{2 + 1} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} - 15 h^{3} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Étape 3.6.10

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} - 15 h^{3} - 12 h^{2}$

Étape 3.6.11

Additionnez $6 h^{4}$ et $9 h^{4}$ .

$15 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 - 15 h^{3} - 12 h^{2}$

Étape 3.6.12

Soustrayez $15 h^{3}$ de $- 5 h^{3}$ .

$15 h^{4} - 30 h - 20 h^{3} + 25 - 12 h^{2}$

Étape 3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 h^{4} - 20 h^{3} - 12 h^{2} - 30 h + 25$