Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x}{9 - x^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 4 x^{2} + 3 x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} + lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} + lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 4 \cdot 3^{2} + 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 4 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{27 - 4 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.7.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{27 - 4 \cdot 9 + 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$\frac{27 - 36 + 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.7.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{27 - 36 + 9}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.7.2

Soustrayez $36$ de $27$ .

$\frac{- 9 + 9}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.7.3

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{9 - lim_{x \to 3} x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{9 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{9 - 3^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x}{9 - x^{2}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 1.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 1.3.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.7

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{0 - (2 x)}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{0 - 2 x}$

Étape 1.3.9

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{- 2 x}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{- 2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{x}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 8 x + 3}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - lim_{x \to 3} 8 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 2.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 8 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 8 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 2.6

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 \cdot 3^{2} - 8 lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 + 3}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 + 3}{3}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 + 3}{3}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $3 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 + 3$ et $3$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 3^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2}) - 8 \cdot 3 + 3}{3}$

Étape 4.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 8 \cdot 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2}) + 3 \cdot - 8 + 3}{3}$

Étape 4.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (3^{2}) + 3 \cdot - 8$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2} - 8) + 3}{3}$

Étape 4.2.4

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2} - 8) + 3 \cdot 1}{3}$

Étape 4.2.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (3^{2} - 8) + 3 (1)$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2} - 8 + 1)}{3}$

Étape 4.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2} - 8 + 1)}{3 (1)}$

Étape 4.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2} - 8 + 1)}{3 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{2} - 8 + 1}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $3^{2} - 8 + 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} (3^{2} - 8 + 1)$

Étape 4.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{2} (9 - 8 + 1)$

Étape 4.4

Soustrayez $8$ de $9$ .

$- \frac{1}{2} (1 + 1)$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2} \cdot 2$

Étape 4.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2} \cdot 2$

Étape 4.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 1$