Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 - 6 \sqrt{x}}{8 \sqrt[4]{x}} d x$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $2 - 6 \sqrt{x}$ et $8$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int \frac{2 (1) - 6 \sqrt{x}}{8 \sqrt[4]{x}} d x$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \sqrt{x}$ .

$\int \frac{2 (1) + 2 (- 3 \sqrt{x})}{8 \sqrt[4]{x}} d x$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 3 \sqrt{x})$ .

$\int \frac{2 (1 - 3 \sqrt{x})}{8 \sqrt[4]{x}} d x$

Étape 1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt[4]{x}$ .

$\int \frac{2 (1 - 3 \sqrt{x})}{2 (4 \sqrt[4]{x})} d x$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 (1 - 3 \sqrt{x})}{2 (4 \sqrt[4]{x})} d x$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1 - 3 \sqrt{x}}{4 \sqrt[4]{x}} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1 - 3 \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1 - 3 x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[4]{x}} d x$

Étape 3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1 - 3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{4}}} d x$

Étape 3.3

Retirez $x^{\frac{1}{4}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - 3 x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d x$

Étape 3.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - 3 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d x$

Étape 3.4.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - 3 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{4}} d x$

Étape 3.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} \int (1 - 3 x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{4}} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int 1 x^{- \frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{4}} d x$

Étape 4.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{4}}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int x^{- \frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{4}} d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int x^{- \frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} d x$

Étape 4.4

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int x^{- \frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}} d x$

Étape 4.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int x^{- \frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}} d x$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int x^{- \frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} d x$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int x^{- \frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{2 - 1}{4}} d x$

Étape 4.7

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{4} \int x^{- \frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int x^{- \frac{1}{4}} d x + \int - 3 x^{\frac{1}{4}} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C + \int - 3 x^{\frac{1}{4}} d x)$

Étape 7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{4}} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C - 3 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C))$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{1}{4} (\frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{12 x^{\frac{5}{4}}}{5}) + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{4}}) + C$