Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - x^{2} + x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $12 x^{2} - 2$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 x + 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 2 x + 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 0.88464617$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 0.88464617$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 0.88464617$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- 0.88464617)}^{2} - 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 0.88464617$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 0.78259885 - 2$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $0.78259885$ .

$9.3911863 - 2$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $9.3911863$ .

$7.3911863$

Étape 10

$x = - 0.88464617$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 0.88464617$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 0.88464617$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.88464617$ dans l’expression.

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1

Élevez $- 0.88464617$ à la puissance $4$ .

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

Étape 11.2.2.2

Élevez $- 0.88464617$ à la puissance $2$ .

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 1 \cdot 0.78259885 - 0.88464617$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $0.78259885$ .

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 0.78259885 - 0.88464617$

Étape 11.2.3

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 11.2.3.1

Soustrayez $0.78259885$ de $0.61246097$ .

$f (- 0.88464617) = - 0.17013788 - 0.88464617$

Étape 11.2.3.2

Soustrayez $0.88464617$ de $- 0.17013788$ .

$f (- 0.88464617) = - 1.05478406$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $- 1.05478406$ .

$y = - 1.05478406$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - x^{2} + x$ .

$(- 0.88464617, - 1.05478406)$ est un minimum local

Étape 13