Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} - 5 x + 7}{1 - x + x^{2} - x^{3}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} - 5 x + 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 5 x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 5 x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

Étape 4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{lim_{x \to - 1} 1 - lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 7}{1 + 1 + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Étape 10.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Étape 10.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 1 - 5 \cdot - 1 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

Étape 11.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 + 5 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

Étape 11.1.3

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$\frac{4 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

Étape 11.1.4

Additionnez $4$ et $7$ .

$\frac{11}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{11}{1 + 1 + 1 - {(- 1)}^{3}}$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ .

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Étape 11.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{11}{1 + 1 + 1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3}}$

Étape 11.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{11}{1 + 1 + 1 + {(- 1)}^{1 + 3}}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{11}{1 + 1 + 1 + {(- 1)}^{4}}$

Étape 11.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{11}{1 + 1 + 1 + 1}$

Étape 11.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{11}{2 + 1 + 1}$

Étape 11.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{11}{3 + 1}$

Étape 11.2.6

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{11}{4}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{11}{4}$

Forme décimale :

$2.75$