Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Étape 1

Écrivez $(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ comme une fonction.

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x$

Étape 4

Laissez $u = x + 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

Étape 5

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Étape 5.1

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u$

Étape 5.2

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

Étape 6

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.7

Remettez dans l’ordre $u$ et $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.8

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.9

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.12

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.14

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.15

Factorisez le signe négatif.

$\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.16

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.17

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.19

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.20

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.21

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.23

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u$

Étape 6.24

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u$

Étape 6.25

Soustrayez $2 u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Étape 9

Comme $- 3$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u$

Étape 11

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 13

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Étape 13.1

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$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Étape 13.2

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Étape 13.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C$

Étape 13.2.2

Associez $2$ et $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Étape 13.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Étape 13.2.3.2

Divisez $u^{2}$ par $1$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + u^{2} + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$