Calcul infinitésimal Exemples

$z = {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{3})$

Étape 2

La dérivée de $z$ par rapport à $x$ est $z'$ .

$z'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.7.3

Associez $2$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.7.4

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.8

Comme $y^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0)$

Étape 3.9

Simplifiez les termes.

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Étape 3.9.1

Additionnez $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ et $0$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.9.2

Associez $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ et $3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}} {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.9.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}} {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.9.4

Associez $\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ et ${(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.9.5

Factorisez $3$ à partir de $6 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 3.10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.1.1

Réécrivez ${(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ comme $(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 ((2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.2

Développez $(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.11.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.11.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.1.3.1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.1.5

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $y^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.1.3.1.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.1.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1 + 1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.1.5.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.1.5.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{1})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.1.6

Simplifiez $y^{1}$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.2

Additionnez $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ et $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 3.11.1.3.2.1

Déplacez $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.3.2.2

Additionnez $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ et $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}}) + 2 (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.5

Simplifiez

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Étape 3.11.1.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 2 (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.1.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 8 (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$z' = \frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Remplacez $z'$ par $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$